BAB 6 : BARISAN DAN DERET

6.4 Deret Pangkat, Deret Taylor dan Mclaurin

A) Rangkuman Materi

1 Deret Pangkat

Secara umum deret pangkat didefinisikan sebagai

\sum_{n=0}^{+\infty} a_n (x-c)^n = a_0 + a_1(x-c) + a_2(x-c)^2 + a_3(x-c)^3 + \dots

dengan \(c \in \mathbb{R}\) dan \(a_n\) merupakan barisan tak hingga. Nilai \(c\) adalah pusat deret pangkat (deret pangkat berpusat di \(x = c\)).

Teorema 1.1

Untuk sebarang deret pangkat yang berpusat di \(x = c\), tepat satu kondisi berikut akan dipenuhi:

Deret tersebut hanya konvergensi \(x = c\).
Deret tersebut konvergen untuk semua bilangan real \(x\).
Deret tersebut konvergen untuk semua bilangan real di selang \((c - R, c + R)\). Untuk \(x = c - R\) atau \(x = c + R\), deret tersebut bisa konvergen maupun divergen.

2 Hampiran Fungsi Dengan Polinomial

Definsi 2.1

Jika \(f\) dapat dideferensiasi \(n\) kali pada \(x = 0\), maka Polinomial MacLaurin derajat \(n\) dari \(f\) didefinisikan sebagai

p_n(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k

Polinomial ini memenuhi \(p_n(0) = f(0)\) dan \(p_n^{(k)}(0) = f^{(k)}(0)\) untuk \(1 \le k \le n\).

Definisi 2.2

Jika \(f\) dapat dideferensiasi \(n\) kali pada \(a\), maka Polinomial Taylor derajat \(n\) dari \(f\) di sekitar titik \(x = a\) didefinisikan sebagai

p_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k

1.3 Deret Taylor dan Maclaurin

Definisi 3.1

Jika \(f\) mempunyai turunan pada semua tingka di \(x = a\), maka Deret Taylor untuk \(f\) di sekitar titik \(x = a\) menjadi

\sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \dots

Pada kejadian khusus di mana \(a = 0\), deret taylor disebut **Deret Maclaurin** untuk \(f\). Dalam hal ini deret mempunyai bentuk

\sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \dots

1 Sifat-Sifat Aljabar Deret Takhingga

Teorema 1.1

Jika \(\sum u_k\) dan \(\sum v_k\) deret konvergen, maka \(\sum(u_k + v_k)\) dan \(\sum(u_k - v_k)\) adalah deret konvergen dan jumlah dari deret ini adalah \[ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{+\infty} (u_k + v_k) &= \sum_{k=1}^{+\infty} u_k + \sum_{k=1}^{+\infty} v_k \\ \sum_{k=1}^{+\infty} (u_k - v_k) &= \sum_{k=1}^{+\infty} u_k - \sum_{k=1}^{+\infty} v_k \end{aligned} \]
Jika \(c\) adalah konstanta tidak nol, maka deret \(\sum_{k=1}^{+\infty} u_k\) dan \(\sum_{k=1}^{+\infty} c u_k\) keduanya konvergen atau keduanya divergen. Dalam kasus konvergen jumlah dari deret ini adalah \[ \sum_{k=1}^{+\infty} c u_k = c \sum_{k=1}^{+\infty} u_k \]
Konvergensi atau divergensi tidak dipengaruhi oleh penghapusan sejumlah suku berhingga dari deret; jelasnya, untuk sebarang bilangan positif \(K\), deret \[ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{+\infty} u_k &= u_1 + u_2 + u_3 + \dots \\ \sum_{k=K}^{+\infty} u_k &= u_K + u_{K+1} + u_{K+2} + \dots \end{aligned} \] keduanya divergen atau keduanya konvergen.

2 Uji Integral

Teorema 2.1 (Uji Integral)

Misalkan \(\sum u_k\) adalah deret dengan suku-suku positif, dan \(f(x)\) fungsi yang dihasilkan jika \(k\) diganti dengan \(x\) dalam rumus \(u_k\). Jika \(f\) adalah deret turun dan kontinu pada interval \([1, +\infty)\), maka

\[ \sum_{k\to+\infty} u_k \quad \text{dan} \quad \int_{1}^{+\infty} f(x) dx \] keduanya konvergen atau keduanya divergen.

3 Bukti Uji Integral

Jika \(\sum u_k\) adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta \(M\) sedemikian hingga

\[ s_n = u_1 + u_2 + u_3 + \dots + u_n \le M \]

untuk setiap \(n\), maka deret konvergen dan jumlahan \(S\) memenuhi \(S \le M\). Jika \(M\) seperti di atas tidak ada maka deret divergen.

4 Deret-p

Deret-p adalah suatu deret tak hingga yang dituliskan sebagai

\[ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^p} = 1 + \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} + \dots + \frac{1}{k^p} + \dots \]

Teorema 4.1 (Konvergensi Deret-p)

\[ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^p} = 1 + \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} + \dots + \frac{1}{k^p} + \dots \] konvergen jika \(p > 1\) dan divergen jika \(0 < p \le 1\).

5 Uji Rasio

Teorema 5.1 (Uji Rasio)

Jika diberikan deret \(\sum u_k\) dengan suku-suku positif dan diasumsikan \(p = \lim_{k\to+\infty} \frac{u_{k+1}}{u_k}\), maka

Jika \(p < 1\), maka deret konvergen.
Jika \(p > 1\) atau \(p = +\infty\), maka deret divergen.
Jika \(p = 1\), maka deret mungkin konvergen atau divergen, sehingga diperlukan uji yang lain.

6 Prinsip Informal

Prinsip Informal (I): Suku-suku konstan dalam penyebut \(u_k\) dapat dihilangkan tanpa berpengaruh pada konvergensi maupun divergensi deret.
Prinsip Informal (II): Jika sebuah polinomial dalam \(k\) tampak sebagai faktor pembilang atau penyebut dari \(u_k\), maka semua suku (kecuali \(k\) dengan pangkat tertinggi) pada polinomial dihilangkan. Penyederhanaan ini tidak mempengaruhi konvergensi atau divergensi deret tersebut.

7 Deret Berganti Tanda

Deret berganti tanda adalah deret dengan suku-suku positif dan negatif bergantian.

\[ \begin{aligned} \sum_{k=0}^\infty (-1)^{k+1} a_k &= -a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - \dots \\ \sum_{k=0}^\infty (-1)^k a_k &= -a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - \dots \\ % There might be a typo in the original image for the second series definition, assuming the first one is the primary \end{aligned} \] dan diasumsikan \(a_k > 0\).

Teorema 7.1 (Uji Deret Berganti Tanda)

Suatu deret berganti tanda pada bentuk di atas konvergen jika dua kondisi berikut terpenuhi

\(a_1 > a_2 > a_3 > a_4 > \dots\)
\(\lim_{k\to+\infty} a_k = 0\)

Note: Pada teorema 7.1,

Jika kondisi (2) tidak dipenuhi, maka deret akan divergen.
Jika kondisi (2) dipenuhi, tetapi kondisi (1) tidak, deret dapat konvergen maupun divergen.

# Ringkasan Uji Konvergensi Deret Tak Hingga

Nama Uji	Pernyataan	Keterangan
Uji Divergensi	Jika \(\lim_{k\to+\infty} u_k \ne 0\), maka \(\sum u_k\) divergen.	Jika \(\lim_{k\to+\infty} u_k = 0\), maka \(\sum u_k\) mungkin konvergen atau mungkin tidak.
Uji Integral	Misalkan \(\sum u_k\) adalah deret dengan suku-suku positif, dan \(f(x)\) fungsi yang dihasilkan jika \(k\) diganti dengan \(x\) dalam rumus \(u_k\). Jika \(f\) adalah deret turun dan kontinu pada interval \([1, \infty)\), maka \[ \sum_{k=1}^\infty u_k \quad \text{dan} \quad \int_{1}^{\infty} f(x) dx \] keduanya konvergen atau keduanya divergen.	Uji ini hanya berlaku untuk deret dengan suku tidak negatif. Coba uji ini jika \(f(x)\) mudah diintegralkan.
Uji Perbandingan	Misalkan \(\sum a_k\) dan \(\sum b_k\) adalah deret dengan suku tidak negatif sedemikian sehingga \(a_k \le b_k\). Jika \(\sum b_k\) konvergen, maka \(\sum a_k\) juga konvergen, dan jika \(\sum a_k\) divergen, maka \(\sum b_k\) divergen.	Uji ini hanya berlaku untuk deret dengan suku tidak negatif. Coba uji ini sebagai pilihan terakhir; uji lain sering lebih mudah diterapkan.
Uji Perbandingan Limit	Misalkan \(\sum a_k\) dan \(\sum b_k\) adalah deret dengan suku positif, serta \[ \rho = \lim_{k\to\infty} \frac{a_k}{b_k} \] Jika \(0 < \rho < +\infty\), maka kedua deret tersebut konvergen atau kedua deret tersebut divergen.	Uji ini lebih mudah digunakan dibandingkan uji perbandingan biasa, tetapi memerlukan keterampilan dalam memilih deret \(\sum b_k\) untuk membandingkan.
Uji Rasio	Misalkan \(\sum u_k\) adalah deret dengan suku positif, serta \[ \rho = \lim_{k\to+\infty} \left\|\frac{u_{k+1}}{u_k}\right\| \] Deret konvergen jika \(\rho < 1\). Deret divergen jika \(\rho > 1\) atau \(\rho = +\infty\). Jika \(\rho = 1\), maka deret mungkin konvergen atau divergen, sehingga diperlukan uji yang lain.	Gunakan uji ini ketika \(u_k\) melibatkan faktorial atau pangkat ke-\(k\).
Uji Akar	Misalkan \(\sum u_k\) adalah deret dengan suku positif, serta \[ \rho = \lim_{k\to+\infty} \sqrt[k]{u_k} \] Deret konvergen jika \(\rho < 1\). Deret divergen jika \(\rho > 1\) atau \(\rho = +\infty\). Jika \(\rho = 1\), maka deret mungkin konvergen atau divergen, sehingga diperlukan uji yang lain.	Gunakan uji ini ketika \(u_k\) melibatkan pangkat ke-\(k\).
Uji Deret Berganti Tanda	Jika \(a_k \ge 0\) untuk \(k = 1,2,3,\dots\), maka deret \[ \begin{aligned} \sum_{k=0}^\infty (-1)^{k+1} a_k &= -a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - \dots \\ \sum_{k=0}^\infty (-1)^k a_k &= a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \end{aligned} \] konvergen jika syarat berikut terpenuhi: \(a_1 > a_2 > a_3 > a_4 > \dots\) \(\lim_{k\to+\infty} a_k = 0\)	Uji ini hanya berlaku untuk deret yang suku-sukunya berganti tanda.
Uji Rasio untuk Konvergensi Absolut	Misalkan \(\sum u_k\) adalah deret dengan suku tidak nol, serta \[ \rho = \lim_{k\to\infty} \left\|\frac{u_{k+1}}{u_k}\right\| \] Deret konvergen absolut jika \(\rho < 1\). Deret divergen jika \(\rho > 1\) atau \(\rho = \infty\). Jika \(\rho = 1\), maka deret mungkin konvergen atau divergen, sehingga diperlukan uji yang lain.	Deret tidak harus memiliki suku positif dan tidak harus berganti tanda untuk menggunakan uji ini.

B) Contoh Soal

1. Soal EAS 2024

Diberikan fungsi \(f(x) = e^{-2x}\).

(a) Dapatkan polinomial Maclaurin derajat 4 dari fungsi tersebut.
(b) Dapatkan deret Maclaurin fungsi tersebut.

Pembahasan:

(a) Diketahui bahwa polinomial Maclaurin derajat 4 adalah \[ p_4(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4. \]

Perhatikan bahwa \[ \begin{aligned} f(0) &= e^0 = 1 \\ f'(x) &= -2e^{-2x} \\ f'(0) &= -2 \\ f''(x) &= 4e^{-2x} \\ f''(0) &= 4 \\ f^{(3)}(x) &= -8e^{-2x} \\ f^{(3)}(0) &= -8 \\ f^{(4)}(x) &= 16e^{-2x} \\ f^{(4)}(0) &= 16, \end{aligned} \]

sehingga \[ \begin{aligned} p_4(x) &= f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 \\ &= 1 - 2x + \frac{4}{2!}x^2 + \frac{-8}{3!}x^3 + \frac{16}{4!}x^4 \\ &= 1 - 2x + \frac{4}{2}x^2 - \frac{8}{6}x^3 + \frac{16}{24}x^4 \\ &= 1 - 2x + 2x^2 - \frac{4}{3}x^3 + \frac{2}{3}x^4 \end{aligned} \]

(b) Dari perhitungan pada poin (a), diperoleh bahwa \(f^{(n)}(x) = (-2)^n e^{-2x}\) (silakan pastikan kebenarannya dengan induksi matematika), sehingga \(f^{(n)}(0) = (-2)^n\). Dengan demikian,

deret Maclaurinnya adalah

\begin{aligned} \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k &= f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \dots \\ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-2)^k}{k!}x^k &= \frac{(-2)^0}{0!}x^0 + \frac{(-2)^1}{1!}x^1 + \frac{(-2)^2}{2!}x^2 + \frac{(-2)^3}{3!}x^3 + \frac{(-2)^4}{4!}x^4 + \dots \\ &= 1 - 2x + \frac{4}{2!}x^2 - \frac{8}{3!}x^3 + \frac{16}{4!}x^4 + \dots \\ &= 1 - 2x + 2x^2 - \frac{4}{3}x^3 + \frac{2}{3}x^4 + \dots \end{aligned}

2. Soal EAS 2022

Diberikan fungsi \(f(x) = \frac{1}{1+x}\).

(a) Dapatkan polinomial Taylor derajat 4 dari fungsi tersebut di sekitar \(x = -2\).
(b) Dapatkan deret Taylor fungsi tersebut di sekitar \(x = -2\) dan nyatakan dalam notasi sigma.

Pembahasan:

(a) Diketahui bahwa polinomial Maclaurin derajat 4 di sekitar titik \(x = -2\) adalah \[ p_4(x) = f(-2)+f'(-2)(x-(-2))+\frac{f''(-2)}{2!}(x-(-2))^2+\frac{f^{(3)}(-2)}{3!}(x-(-2))^3+f^{(4)}(-2)(x-(-2))^4. \]

Perhatikan bahwa \[ \begin{aligned} f(-2) &= \frac{1}{1-2} = -1 \\ f'(x) &= -\frac{1}{(1+x)^2} \\ f'(-2) &= -\frac{1}{(1-2)^2} = -1 \\ f''(x) &= \frac{1 \cdot 2}{(1+x)^3} \\ f''(-2) &= \frac{2}{(1-2)^3} = -2! \\ f^{(3)}(x) &= -\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{(1+x)^4} \\ f^{(3)}(-2) &= -\frac{6}{(1-2)^4} = -3! \\ f^{(4)}(x) &= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{(1+x)^5} \\ f^{(4)}(-2) &= \frac{24}{(1-2)^5} = -4!, \end{aligned} \]

sehingga \[ \begin{aligned} p_4(x) &= -1 - 1(x-(-2)) + \frac{-2!}{2!}(x-(-2))^2 + \frac{-3!}{3!}(x-(-2))^3 + \frac{-4!}{4!}(x-(-2))^4 \\ &= -1 - (x+2) - (x+2)^2 - (x+2)^3 - (x+2)^4 \end{aligned} \]

(b) Dari perhitungan pada poin (a), diperoleh bahwa \(f^{(n)}(x) = (-1)^n \frac{n!}{(1+x)^{n+1}}\) (silakan pastikan kebenarannya dengan induksi matematika), sehingga \(f^{(n)}(-2) = (-1)^n \frac{n!}{(1-2)^{n+1}} = (-1)^n \frac{n!}{(-1)^{n+1}} = -n!\). Dengan demikian,

deret Taylornya adalah

\begin{aligned} \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(-2)}{k!}(x-(-2))^k &= f(-2) + f'(-2)(x-(-2)) + \frac{f''(-2)}{2!}(x-(-2))^2 + \dots \\ &= \sum_{k=0}^\infty \frac{-k!}{k!}(x-(-2))^k \\ &= \sum_{k=0}^\infty (-1)(x+2)^k \\ &= -1 - (x+2) - (x+2)^2 - (x+2)^3 - (x+2)^4 - \dots \end{aligned}

C) Latihan Soal

1. Soal EAS 2024

Dapatkan lima suku pertama polinomial Maclaurin untuk fungsi \(f(x) = e^{-x^2}\).

Pembahasan

Diketahui bahwa lima suku pertama polinomial Maclaurin adalah \[ p_4(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4. \]

Perhatikan bahwa \[ \begin{aligned} f(0) &= e^{-0^2} = 1 \\ f'(x) &= -2xe^{-x^2} \\ f'(0) &= 0 \\ f''(x) &= -2e^{-x^2} + 4x^2e^{-x^2} \\ f''(0) &= -2 \\ f^{(3)}(x) &= (4xe^{-x^2}) + (8xe^{-x^2} - 8x^3e^{-x^2}) = 12xe^{-x^2} - 8x^3e^{-x^2} \\ f^{(3)}(0) &= 0 \\ f^{(4)}(x) &= (12e^{-x^2} - 24x^2e^{-x^2}) + (-24x^2e^{-x^2} + 16x^4e^{-x^2}) = (12 - 48x^2 + 16x^4)e^{-x^2} \\ % Corrected based on standard derivative f^{(4)}(0) &= 12, \end{aligned} \]

sehingga \[ \begin{aligned} p_4(x) &= 1 + (0)x + \frac{-2}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{12}{4!}x^4 \\ &= 1 - \frac{2}{2}x^2 + 0x^3 + \frac{12}{24}x^4 \\ &= 1 - x^2 + \frac{1}{2}x^4 \end{aligned} \]

2. Soal EAS 2024

Dapatkan deret Maclaurin untuk fungsi \(f(x) = \ln(1+x)\).

Pembahasan

Perhatikan bahwa \[ \begin{aligned} f(0) &= \ln(1+0) = 0 \\ f'(x) &= \frac{1}{1+x} \\ f'(0) &= 1 \\ f''(x) &= -\frac{1}{(1+x)^2} \\ f''(0) &= -1 \\ f^{(3)}(x) &= \frac{1 \cdot 2}{(1+x)^3} \\ f^{(3)}(0) &= 2! \\ f^{(4)}(x) &= -\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{(1+x)^4} \\ f^{(4)}(0) &= -3! \\ & \dots \end{aligned} \]

sehingga diperoleh deret Maclaurin dari \(f(x) = \ln(1+x)\) adalah \[ \begin{aligned} \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n &= \frac{f^{(0)}(0)}{0!}x^0 + \frac{f^{(1)}(0)}{1!}x^1 + \sum_{n=2}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \\ f^{(n)}(x) &= (-1)^{n+1} \frac{(n-1)!}{(1+x)^n} \\ f^{(n)}(0) &= (-1)^{n+1} (n-1)!, \quad \text{untuk } n > 1, \\ &= 0 + x + \sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^{n+1} (n-1)!}{n!}x^n \\ &= x + \sum_{n=2}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} \end{aligned} \]

3. Soal EAS 2024

Dapatkan deret Taylor untuk fungsi \(f(x) = \frac{1}{5-4x}\) di sekitar \(x = 1\).

Pembahasan

Perhatikan bahwa \[ \begin{aligned} f(1) &= \frac{1}{5-4} = 1 \\ f'(x) &= -\frac{-4}{(5-4x)^2} = \frac{4}{(5-4x)^2} \\ f'(1) &= \frac{4}{(5-4)^2} = 4 \\ f''(x) &= 4 \cdot (-2) \cdot (5-4x)^{-3} \cdot (-4) = \frac{32}{(5-4x)^3} \\ % corrected derivation based on image's next line f''(1) &= \frac{32}{(5-4)^3} = 32 \\ f^{(3)}(x) &= 32 \cdot (-3) \cdot (5-4x)^{-4} \cdot (-4) = \frac{32 \cdot 12}{(5-4x)^4} = \frac{384}{(5-4x)^4} \\ % corrected derivation f^{(3)}(1) &= \frac{384}{(5-4)^4} = 384 \\ & \dots \\ f^{(n)}(x) &= \frac{(-4)^n n!}{(5-4x)^{n+1}} \\ f^{(n)}(1) &= \frac{(-4)^n n!}{(5-4)^{n+1}} = (-4)^n n!, \end{aligned} \]

sehingga diperoleh deret Maclaurin dari \(f(x) = \frac{1}{5-4x}\) adalah \[ \begin{aligned} \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(1)}{k!}(x-1)^k &= f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2 + \dots \\ &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-4)^k k!}{k!}(x-1)^k \\ &= \sum_{k=0}^\infty (-4)^k (x-1)^k \\ &= 1 - 4(x-1) + 4^2(x-1)^2 - 4^3(x-1)^3 + \dots \end{aligned} \]

4. Soal EAS 2024

Diberikan barisan aritmatika \(\sum_{n=1}^\infty \frac{6-n}{4}\)

(a) Tentukan 5 suku pertama barisan tersebut
(b) Tentukan \(n\) sehingga \(S_n = 0\).

Pembahasan

(a) 5 suku pertama dari barisan adalah \[ \begin{aligned} a_1 &= \frac{6-1}{4} = \frac{5}{4} \\ a_2 &= \frac{6-2}{4} = \frac{4}{4} = 1 \\ a_3 &= \frac{6-3}{4} = \frac{3}{4} \\ a_4 &= \frac{6-4}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \\ a_5 &= \frac{6-5}{4} = \frac{1}{4} \end{aligned} \] (Catatan: Deret yang diberikan adalah \(\sum_{n=1}^\infty \frac{6-n}{4}\). Pertanyaan (a) meminta "suku pertama barisan", bukan "jumlah 5 suku pertama". Jadi `p5` di gambar mungkin adalah typo atau notasi yang berbeda.)

(b)

\begin{aligned} S_n &= \sum_{k=1}^n \frac{6-k}{4} \\ &= \frac{(6-1) + (6-2) + (6-3) + \dots + (6-n)}{4} \\ &= \frac{\overbrace{6+6+\dots+6}^{n \text{ kali}} - (1+2+3+\dots+n)}{4} \\ &= \frac{6n - \frac{n(n+1)}{2}}{4} \\ &= \frac{12n - n(n+1)}{8} \\ &= \frac{12n - n^2 - n}{8} \\ &= \frac{11n - n^2}{8} \\ &= \frac{n(11-n)}{8} \end{aligned}

Agar \(S_n = 0\), haruslah \(\frac{n(11-n)}{8} = 0 \iff n(11-n) = 0\). Karena \(n > 1\), dengan demikian \(n\) yang memenuhi adalah 11.

5. Soal EAS 2024

Diberikan fungsi \(f(x) = \cosh(6x - 12)\).

(a) Dapatkan polinomial Taylor derajat 5 dari fungsi tersebut di sekitar \(x = 2\).
(b) Dapatkan deret Taylor fungsi tersebut di sekitar \(x = 2\) dan nyatakan dalam notasi sigma.

Pembahasan

(a) Perhatikan bahwa

\begin{aligned} f(2) &= \cosh(6 \cdot 2 - 12) = \cosh(0) = 1 \\ f'(x) &= 6\sinh(6x - 12) \\ f'(2) &= 6\sinh(0) = 0 \\ f''(x) &= 6^2\cosh(6x - 12) \\ f''(2) &= 6^2 \\ f^{(3)}(x) &= 6^3\sinh(6x - 12) \\ f^{(3)}(2) &= 0 \\ f^{(4)}(x) &= 6^4\cosh(6x - 12) \\ f^{(4)}(2) &= 6^4 \\ f^{(5)}(x) &= 6^5\sinh(6x - 12) \\ f^{(5)}(2) &= 0, \end{aligned}

sehingga \[ \begin{aligned} p_5(x) &= 1 + 0(x-2) + \frac{6^2}{2!}(x-2)^2 + \frac{0}{3!}(x-2)^3 + \frac{6^4}{4!}(x-2)^4 + \frac{0}{5!}(x-2)^5 \\ &= 1 + \frac{36}{2}(x-2)^2 + \frac{1296}{24}(x-2)^4 \\ &= 1 + 18(x-2)^2 + 54(x-2)^4 \end{aligned} \]

(b) Dari perhitungan poin (a) diperoleh pola bahwa

f^{(n)}(x) = \begin{cases} 6^n \cosh(6x - 12), & \text{jika } n \text{ genap} \\ 6^n \sinh(6x - 12), & \text{jika } n \text{ ganjil} \end{cases} \] \[ f^{(n)}(2) = \begin{cases} 6^n, & \text{jika } n \text{ genap} \\ 0, & \text{jika } n \text{ ganjil} \end{cases}

sehingga deret Taylor fungsi di sekitar \(x = 2\) adalah \[ \begin{aligned} \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(2)}{n!}(x-2)^n &= \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(2k)}(2)}{(2k)!}(x-2)^{2k} + \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(2k+1)}(2)}{(2k+1)!}(x-2)^{2k+1} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \frac{6^{2k}}{(2k)!}(x-2)^{2k} + \sum_{k=0}^\infty \frac{0}{(2k+1)!}(x-2)^{2k+1} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \frac{6^{2k}}{(2k)!}(x-2)^{2k} \end{aligned} \]